Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Nhận xét: \(AB = BC\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\) hay \(B\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, hay \(B\) chính là điểm uốn của đồ thị hàm số.

+ Tìm điểm uốn \(U\) của đồ thị hàm số bậc \(3\) (là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ là nghiệm của \(y’’ = 0\))

+ Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua \(U\)

+ Tìm điều kiện để đường thẳng cắt đồ thị hàm số bậc \(3\) tại \(3\) điểm phân biệt

+ Kết hợp 2 điều kiện trên.

Giải chi tiết:

Có \(y' = 3{x^2}-6x + 1;y'' = {\text{ }}6x-6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Đồ thị hàm số bậc ba có điểm uốn \(U(1;1)\)

Đường thẳng đã cho đi qua \(U \Leftrightarrow 1 = m.1-m + 1\) (luôn đúng)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số bậc 3:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + x + 2 = mx - m + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + 1 + m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1 - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x - 1 - m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Hai đường cắt nhau tại \(3\) điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) Phương trình (*) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {1^2} + \left( {1 + m} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 - 1 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2\)

Chọn đáp án D