Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\,\,...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Thay giá trị m vào phương trình đã cho để giải phương trình bậc hai một ẩn.

+) Phương trình có hai nghiệm với mọi \(m\Leftrightarrow \Delta >0\ \forall m.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..\)

Giải chi tiết:

1)      Khi m = 2 thì pt\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=3 \\  x=1 \\ \end{align} \right.\)

2)      Ta có: \(\Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1=2>0\)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

Khi đó theo Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.\)

Biến đổi phương trình 

\({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x-2=x-2\)

Khi đó \(x_{1}^{3}-2mx_{1}^{2}+{{m}^{2}}{{x}_{1}}-2={{x}_{1}}-2\)và \(x_{2}^{3}-2mx_{2}^{2}+{{m}^{2}}{{x}_{2}}-2={{x}_{2}}-2\)

Xét \(S=\left( {{x}_{1}}-2 \right)+\left( {{x}_{2}}-2 \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-4=2m-4\)

\(P=\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4={{m}^{2}}-1-2.2m+4={{m}^{2}}-4m+3\)

Xét \({{S}^{2}}-4P={{\left( 2m-4 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)=4>0\)

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là \({{x}^{2}}-\left( 2m-4 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0\)