Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\)...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(z=x+yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTLN.

Giải chi tiết:

Có \(\frac{-2-3i}{3-2i}=-i\). Đặt \(z=x+yi\) thì

\(\frac{-2-3i}{3-2i}z+1=-i(x+yi)+1=(y+1)-xi\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành \({{(y+1)}^{2}}+{{x}^{2}}=1\)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*) có tâm \(I\left( 0,-1 \right)\), bán kính bằng \(1\).

Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để \(OM\) lớn nhất.

Vì \(O\) nằm trên đường tròn nên \(OM\) lớn nhất khi \(OM\) là đường kính của (*) \(\Leftrightarrow \) \(I\) là trung điểm của \(OM\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=2{{x}_{I}} & {}  \\   y=2{{y}_{I}} & {}  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=0 & {}  \\   y=-2 & {}  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow M(0,-2)\). Suy ra \(z=-2i\Leftrightarrow |z|=2\)

Vậy \(\max \left| z \right|=2\)

Chọn C