Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat{B}={{120}^{0...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với 1 cạnh của tam giác bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

+) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

+) Kẻ BH là đường cao ứng với cạnh CD của hình bình hành ABCD \(\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=BH.CD.\)

Giải chi tiết:

a) Xét hình bình hành ABCD có \(AB=2BC;\,\,I\) là trung điểm của \(CD;\,\,K\) là trung điểm của \(AB\Rightarrow AK=KB=IC=ID=AD=BC=\frac{1}{2}AB.\)

Xét tứ giác IDAK ta có: \(\left\{ \begin{align} & ID//AK\,\,\,\left( do\,\,\,CD//AB \right) \\  & ID=AK\,\,\,\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) tứ giác ADIK là hình bình hành (dhnb).

\(\Rightarrow IK=AD\,\) (hai cạnh đối bằng nhau).

Xét tam giác AIB có: IK là trung tuyến ứng với cạnh AB

Mà \(IK=\frac{1}{2}AB\,\,\left( =AD \right)\,\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta IAB\) vuông tại I. (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông) (đpcm).

b) Xét hình bình hành ADIK ta có: \(ID=AD=\frac{1}{2}AB\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow ADIK\) là hình thoi (dhnb).

c) Kẻ BH là đường cao ứng với cạnh CD của hình bình hành ABCD \(\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=BH.CD.\)

Theo đề bài ta có chu vi hình bình hành ABCD bằng \(60cm.\)

\(\Rightarrow 2\left( AB+BC \right)=60\Leftrightarrow 2.3BC=60\Leftrightarrow BC=10cm.\)

Xét tứ giác KICB ta có: \(IC=BC=KB=IK=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow IKBC\) là hình thoi. (dấu hiệu nhận biết).

Mà \(\widehat{B}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{ICB}={{180}^{0}}-{{120}^{0}}={{60}^{0}}.\)

Xét tam giác ICB có: \(\left\{ \begin{align}  & IC=BC \\ & \widehat{ICB}={{60}^{0}} \\\end{align} \right.\Rightarrow ICB\) là tam giác đều. (tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({{60}^{0}}\)).

\(\Rightarrow BH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ứng hay H là trung điểm của IC.

\(\Rightarrow HI=HC=\frac{1}{2}BC=5cm.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go với tam giác vuông HBC ta có:

\(\begin{align}  & BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{5}^{2}}}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\,cm. \\ & \Rightarrow {{S}_{ABCD}}=BH.AB=BH.2BC=5\sqrt{3}.2.10=100\sqrt{3}c{{m}^{2}}. \\\end{align}\)

Chọn B