Trong không gian, cho điểm \(A\left( {1;0; - 1} \r...

Câu hỏi: Trong không gian, cho điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - z - 3 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\), đi qua A và gốc tọa độ sao cho chu vi tam giác OIA bằng \(6 + \sqrt 2 \). Phương trình mặt cầu (S) là:

A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)

B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\)

C \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)

D \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Khi đó \(I \in \left( P \right),\,\,IO = IA;\,IO + IA + OA = 6 + \sqrt 2 \) nên ta có hệ phương trình :

Giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Khi đó \(I \in \left( P \right),\,\,IO = IA;\,IO + IA + OA = 6 + \sqrt 2 \) nên ta có hệ phương trình :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y - z - 3 = 0\\\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\2\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt 2 = 6 + \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - z - 3 = 0\\ - 2x + 1 + 2z + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - z - 3 = 0\\x - z = 1\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x - z = 1\\{x^2} + {z^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = z + 1\\2{z^2} + 2z - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = - 2\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {2;2;1} \right)\\I\left( { - 1;2; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OI = 3 = R\end{array}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\)

Chọn D.

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Các bài toán về tương giao mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Có lời giải chi tiết

↑