Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( Q \ri...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (P),

\(d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n  \bot \overrightarrow {{u_d}} \)

\(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (P), \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng d.

\(d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n  \bot \overrightarrow u  \Rightarrow a - b - c = 0 \Leftrightarrow a = b + c\)

\(\eqalign{  & \cos \alpha  = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 6} = {{\left| {a + 2b + c} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}  \cr   &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2{\left( {a + 2b + c} \right)^2}  \cr   &  \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = 2{\left( {3b + 2c} \right)^2}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{b^2} + 2bc + 2{c^2} = 18{b^2} + 8{c^2} + 24bc  \cr   &  \Leftrightarrow 16{b^2} + 22bc + 6{c^2} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  b =  - {3 \over 8}c \hfill \cr   b =  - c \hfill \cr}  \right. \cr} \)

TH1 : \(b =  - c \Rightarrow a = 0 \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {0; - c;c} \right) = c\left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left( {0; - 1;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P), dựa vào các đáp án ta thấy không có đáp án nào thỏa mãn.

TH2 : \(b =  - {3 \over 8}c \Rightarrow a = {5 \over 8}c \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {{5 \over 8}c; - {3 \over 8}c;c} \right) =  - {c \over 8}\left( { - 5;3; - 8} \right) \Rightarrow \left( { - 5;3; - 8} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P).

Lấy \(A\left( { - 1;2; - 3} \right) \in d \Rightarrow A \in \left( P \right) \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng (P) là

\( - 5\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) - 8\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5x + 3y - 8z - 35 = 0\)

Chọn A.