Biểu thức \({{2{{\cos }^2}x - 1} \over {4\tan \lef...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tử : Sử dụng công thức hạ bậc \(2{\cos ^2}x - 1 = \cos 2x\)

Mẫu : Sử dụng công thức hạ bậc \({\sin ^2}\left( {{\pi  \over 4} + x} \right) = {{1 - \cos \left( {{\pi  \over 2} + 2x} \right)} \over 2}\) và \(\tan \left( {{\pi  \over 4} - x} \right) = {{\sin \left( {{\pi  \over 4} - x} \right)} \over {\cos \left( {{\pi  \over 4} - x} \right)}}\)

Sử dụng các công thức \(\eqalign{  & \sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \sin b\cos a  \cr   & \cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b \cr} \).

Giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {{2{{\cos }^2}x - 1} \over {4\tan \left( {{\pi  \over 4} - x} \right){{\sin }^2}\left( {{\pi  \over 4} + x} \right)}} = {{\cos 2x} \over {4.{{\sin \left( {{\pi  \over 4} - x} \right)} \over {\cos \left( {{\pi  \over 4} - x} \right)}}.{{1 - \cos \left( {{\pi  \over 2} + 2x} \right)} \over 2}}} = {{\cos 2x} \over {2.{{\sqrt 2 \left( {\cos x - \sin \,x} \right)} \over {\sqrt 2 \left( {\cos x + \sin \,x} \right)}}.\left( {1 + \sin 2x} \right)}}  \cr   &  = {{\cos 2x} \over {2.{{\left( {\cos x - \sin \,x} \right)} \over {\left( {\cos x + \sin \,x} \right)}}.{{\left( {\sin \,x + \cos x} \right)}^2}}} = {{\cos 2x} \over {2\left( {\cos x - \sin \,x} \right)\left( {\sin \,x + \cos x} \right)}} = {{\cos 2x} \over {2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}} = {{\cos 2x} \over {2\cos 2x}} = {1 \over 2} \cr} \)

Chọn: A