Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\si...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình tích sau đó giải phương trình tích đó và tìm các nghiệm trong đoạn \(\left[ 0;100\pi  \right]\).

Tính tổng các nghiệm vừa tìm được, sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng \({{S}_{n}}=\frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)n}{2}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x + 4\sin x - 2\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 4\sin x - 2\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + 4\left( {\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x - 1 = 0\\\cos x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = - 2\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right. \\ \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 100\pi \mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{199}}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in Z\\0 \le k \le 49\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó tổng tất cả các nghiệm trong đoạn \(\left[ 0;100\pi  \right]\)  của phương trình trên là:

\(S = \sum\limits_{k = 0}^{49} {\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)}  = 50\frac{\pi }{2} + 2\pi \sum\limits_{k = 0}^{49} k  \) \(= 25\pi  + 2\pi \frac{{49.50}}{2} = 2475\pi \)

Chon C