Cho hàm số \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}\) có đồ t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

Tính khoảng cách từ điểm A đến d.

Tìm GTLN của khoảng cách d.

Giải chi tiết:

Ta có \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:

\(\eqalign{  & y = {{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + {{3{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}} = 0\,\,\,\left( \Delta  \right)  \cr   &  \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = {{\left| {{{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + {{3{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}}} \right|} \over {\sqrt {{9 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left| {{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|} \over {\sqrt {{9 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{{{\left| {6{x_0} - 6} \right|} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \over {{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} } \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} = {{6\left| {{x_0} - 1} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} = 6\sqrt {{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}}  \cr} \)

Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {{t \over {{t^2} + 9}}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t \over {{t^2} + 9}}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Có \(f'\left( t \right) = {{{t^2} + 9 - t.2t} \over {{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = {{ - {t^2} + 9} \over {{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

\(f\left( 3 \right) = {3 \over {18}} = {1 \over 6} \Rightarrow d = \sqrt 6  \Rightarrow {d_{max}} = \sqrt 6 \)

Chọn C.