Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC,\) \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(AB\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SI\\AB \bot HI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AB \bot SH\)

\(\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SH;HI \right)}=\widehat{SHI}={{60}^{0}}.\)

Mà \(IH=\frac{1}{3}d\left( C;\left( AB \right) \right)=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow SI=\tan {{60}^{0}}.\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2}.\)

Kẻ \(IK\bot CD,\) \(IE\bot SK\)\(\Rightarrow \,\,IE\bot \left( SCD \right)\Rightarrow \,\,d\left( I;\left( SCD \right) \right)=IE.\)

Mà \(IK=\frac{2}{3}d\left( B;\left( CD \right) \right)=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow IE=\frac{SI.IK}{\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{7}}{7}.\)

Vậy \(d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( I;\left( SCD \right) \right)=\frac{3a\sqrt{7}}{14}.\)

Chọn C.