Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Giải chi tiết:

Vì H là trung điểm của AB nên \(SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\) và \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Nối \(CK\cap HD=I\). Ta chứng minh được \(CK\bot HD\)

Lại có \(CK\bot SH\Rightarrow CK\bot \left( SHD \right)\). Gọi \(I=HD\cap CK\)

Do đó \(\widehat{\left( SC;\left( SHD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;SI \right)}=\widehat{CSI}=\alpha \in \left( {{0}^{0}};{{90}^{0}} \right)\).

Có \({{S}_{\Delta HCD}}=\frac{1}{2}CI.HD={{S}_{ABCD}}-2.{{S}_{\Delta BHC}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow CI = \frac{{2{S_{HCD}}}}{{HD}} = \frac{{2{S_{HCD}}}}{{\sqrt {A{H^2} + H{D^2}} }} = \frac{{{a^2}}}{{a\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\\SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{4}}  = a\sqrt 2 \end{array}\).

Nên ta được \(\sin \alpha =\frac{IC}{SC}=\frac{\frac{2a}{\sqrt{5}}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\).

Do đó \({{\cos }^{2}}\alpha +2{{\sin }^{2}}\alpha =1+{{\sin }^{2}}\alpha =1+\frac{10}{25}=\frac{7}{5}\).

Chọn D.