Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Giải chi tiết:

Qua C kẻ đường thẳng song song với BM cắt AD tại E.

Khi đó \(BM\parallel \left( SCE \right)\Rightarrow d\left( BM;SC \right)=d\left( M;\left( SCE \right) \right)\).

Mà \(ME=\frac{2}{3}AE\Rightarrow d\left( M;\left( SCE \right) \right)=\frac{2}{3}.d\left( A;\left( SCE \right) \right)\).

Kẻ AH vuông góc với CE tại H, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot \left( {SAH} \right)\\AH.CE = CD.AE = 2{S_{ACD}}\end{array} \right.\)

\(CE=\sqrt{C{{D}^{2}}+D{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow AH=\frac{a.\frac{3a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{3a\sqrt{5}}{5}.\)

Kẻ AK vuông góc với SH tại K, ta có \(CE\bot AK\Rightarrow AK\bot \left( SCE \right)\).

\(\Rightarrow d\left( A;\left( SCE \right) \right)=AK\). Mà \(\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{2}{3{{a}^{2}}}+\frac{5}{9{{a}^{2}}}=\frac{11}{9{{a}^{2}}}.\)

\(\Rightarrow AK=\frac{3a\sqrt{11}}{11}\Rightarrow d\left( A;\left( SCE \right) \right)=\frac{3a\sqrt{11}}{11}\Rightarrow d\left( BM;SC \right)=\frac{2a\sqrt{11}}{11}.\)

Chọn B.