Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng  d và d’

+) Xác định mặt phẳng (P) chứa d’ và song song với đường thẳng d.

+) Khoảng cách giữa d và d’ bằng khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

+) Chọn một điểm M bất kì thuộc d khi đó \(d\left( d;\left( P \right) \right)=d\left( M,\left( P \right) \right)\).

Sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách (nếu cần).

Tính khoảng cách từ điểm M đến một mặt phẳng  (P) ta xác định hình chiếu N của M trên (P), khi đó \(d\left( M,\left( P \right) \right)=MN\).

Giải chi tiết:

Lấy H,K là trung điểm của A’B’ và AC.

+) Vì tất cả các mặt bên là hình vuông nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot AB\\AA' \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right)\) hay lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là lăng trụ đều tất cả các cạnh bằng \(a\).

+) Xác định mặt phẳng  song song với AB’ và chứa DE.

Ta có KD//AB và EK//AA’ nên \(\left( EFDK \right)//\left( AB{B}'{A}' \right)\)\(\Rightarrow A{B}'\)//\(\left( EFDK \right)\)

\(\Rightarrow d\left( A{B}',ED \right)=d\left( A{B}',\left( EFDK \right) \right)=d\left( A,\left( EFDK \right) \right)\).

Lại có \(\frac{d\left( A,\left( EFDK \right) \right)}{d\left( C,\left( EFDK \right) \right)}=\frac{AK}{CK}=1\Rightarrow d\left( A,\left( EFDK \right) \right)=d\left( C,\left( EFDK \right) \right)\).

+) Xét tam giác CKD đều có \(CK=CD=KD=\frac{a}{2}\). Lấy P là trung điểm KD thì \(CP\bot KD\)mà \(CP\bot KE\) nên \(CP\bot \left( EFKD \right)\) tại P \(\Rightarrow d\left( C,\left( EFKD \right) \right)=CP\) \(=\sqrt{C{{D}^{2}}-P{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

Vậy \(d\left( DE,A{B}' \right)=d\left( A,\left( EFKD \right) \right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

Chọn B.