Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\lo...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\log \frac{a}{b} = \log a - \log b\) (giả sử các biểu thức có nghĩa), đưa phương trình về dạng \( \Leftrightarrow \log \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - 6\left( {x + 1} \right)} \right] + {\left( {x + 1} \right)^3} - 6\left( {x + 1} \right) = \log \left( {{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1\)  và xét phương trình đặc trưng \(f\left( t \right) = \log t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\), chứng minh hàm số f(t) đơn điệu và sử dụng tính chất: Nếu hàm số y = f(t) đồng biến (nghịch biến) trên (a; b) thì \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow {x_1} = {x_2}\).

Giải chi tiết:

ĐK: \(\frac{{{x^3} + 3{x^2} - 3x - 5}}{{{x^2} + 1}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} - 3x - 5 > 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 5} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\log \frac{{{x^3} + 3{x^2} - 3x - 5}}{{{x^2} + 1}} + {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^2} + 6x + 7\\ \Leftrightarrow \log \left( {{x^3} + 3{x^2} - 3x - 5} \right) - \log \left( {{x^2} + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^2} + 1 + 6x + 6\\ \Leftrightarrow \log \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - 6\left( {x + 1} \right)} \right] + {\left( {x + 1} \right)^3} - 6\left( {x + 1} \right) = \log \left( {{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1\end{array}\)

 Xét hàm số \(f\left( t \right) = \log t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số y = f(t) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).  Mà

\(\begin{array}{l}f\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - 6\left( {x + 1} \right)} \right] = f\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} - 6\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - 6x - 6 = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} - 3x - 6 = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\,\end{array}\)

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên là \(\sqrt 3  - \sqrt 3  - 2 =  - 2\)

Chọn B.