a)      Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m - 1)x - 3...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)         \({x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x - 3m = 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3m > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - m + 1 > 0\;\;\forall m.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Áp dụng định lý Viet ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(1 - 2m)\\{x_1}{x_2} =  - 3m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{2{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\\ = \frac{{2.4.{{(1 - 2m)}^2} + 12m}}{{2(1 - 2m)}} = \frac{{4(4{m^2} - 4m + 1) + 6m}}{{1 - 2m}}\\ = \frac{{16{m^2} - 10m + 4}}{{1 - 2m}} = \frac{{(1 - 2m).( - 8m) + 1 - 2m + 3}}{{1 - 2m}}\\ =  - 8m + 1 + \frac{3}{{1 - 2m}}.\end{array}\)

Để \(Q \in Z \Rightarrow \left( { - 8m + 1 + \frac{3}{{1 - 2m}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\\frac{3}{{1 - 2m}} \in Z\end{array} \right..\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\3\; \vdots \;\left( {1 - 2m} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\\left( {1 - 2m} \right) \in U\left( 3 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\\left( {1 - 2m} \right) \in \left\{ { \pm 1;\; \pm 3} \right\}\end{array} \right..\;\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2m = 1\\1 - 2m = 3\\1 - 2m =  - 1\\1 - 2m =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 1\\m = 1\\m = 2\end{array} \right..\)

Vậy \(m = \left\{ {0;\; - 1;\;\;1;\;2} \right\}.\)

b)                  \(a{x^2} + bx + c = 0\;\;\left( {a \ne 0} \right).\)

Đề phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì : \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0.\)

Theo đề bài ta có : \(2a + b + c = 0 \Rightarrow b =  - \left( {2a + c} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta  = {(2a + c)^2} - 4ac = 4{a^2} + {c^2} > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có ngay : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}).\\2a + b + c = 0\;\;\left( {a \ne 0} \right) \Rightarrow 2 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} = 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} =  - 2 - \frac{b}{a}.\\ \Rightarrow T = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 4.\frac{c}{a} - 2.\frac{b}{a} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} - 4\left( { - 2 - \frac{b}{a}} \right) - 2.\frac{b}{a}\\ = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} + 8 + 2.\frac{b}{a} = {\left( {\frac{b}{a} + 1} \right)^2} + 7 \ge 7.\end{array}\)

\( \Rightarrow Max\;T = 7.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{b}{a} =  - 1 \Leftrightarrow a =  - b.\)  Lại có: \(\frac{c}{a} =  - 2 - \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{c}{a} =  - 2 + 1 =  - 1 \Leftrightarrow a =  - c.\)

\( \Rightarrow a =  - b =  - c.\) Khi đó ta có phương trình: \(a{x^2} - ax - a = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\;\;{x_2} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\)