Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,\;y,\;z\)  thỏa...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}{5^x}{.3^y} + 1 = {\rm{z}}(3{\rm{z}} + 2) \Rightarrow {5^x}{.3^y} = (3{\rm{z}} - 1)({\rm{z}} + 1)\\ \Rightarrow (3{\rm{z}} - 1)({\rm{z + 1)}} \vdots {{\rm{3}}^y} \to \left( {{\rm{z}} + 1} \right) \vdots {3^y}\end{array}\)

(Vì \(\left( {3z - 1} \right)\) không chia hết cho 3 nên \(\left( {3z - 1} \right)\) không chia hết cho \({3^y}\)).

Đặt : \({\rm{z}} + 1 = k{.3^y} \Rightarrow {5^x}{.3^y} = (3{\rm{z}} - 1){.3^y}.k \Rightarrow {5^x} = (3{\rm{z}} - 1).k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\rm{z}} - 1 = {5^m}\\k = {5^n}\end{array} \right.\)

Nếu

\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Rightarrow {5^n} \vdots 5 \Rightarrow \left( {z + 1} \right) \vdots {\rm{5}} \Rightarrow {\rm{z}} \equiv 4\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\ \Rightarrow 3{\rm{z}} - 1 \equiv 1\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow {5^m} \equiv 1\,\,\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow m = 0\\ \Rightarrow 3{\rm{z}} - 1 = {5^m} = 1 \Rightarrow z = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Nếu \(n = 0 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} + 1 = {3^y}\\3{\rm{z}} - 1 = {5^x}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{3z}} + 3 = {3^{y + 1}}\\3{\rm{z}} - 1 = {5^x}\end{array} \right. \Rightarrow {3^{y + 1}} = {5^x} + 4\)

Nếu y chẵn thì : \(3 \equiv  - 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right) \Rightarrow {3^{y + 1}} \equiv  - 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\)

Mặt khác : \({5^x} + 4 \equiv 1\,\,\,\left( {\bmod 4} \right)\) nên mâu thuẫn.

Do đó y lẻ.

Đặt :

\(\begin{array}{l}y = 2k + 1 \to {({3^{k + 1}})^2} = {5^x} + 4\\ \Rightarrow ({3^{k + 1}} - 2)({3^{k + 1}} + 2) = {5^x}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{k + 1}} - 2 = {5^a}\\{3^{k + 1}} + 2 = {5^b}\end{array} \right. \Rightarrow {5^b} - {5^a} = 4 \Rightarrow {5^a}({5^{b - a}} - 1) = 4\\ \Rightarrow {5^a} = 1;{5^{b - a}} - 1 = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = y = 1;\;\;{\rm{z}} = 2.\end{array}\)

Và đây cũng là nghiệm nguyên duy nhất của bài toán.