Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t=\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}\,\left( * \right).\) Đưa phương trình đã cho về phương trình \(f\left( t \right)=a.\) Sử dụng tính đồng biến của hàm \(f\left( t \right)\) để tìm được nghiệm duy nhất của \(f\left( t \right)=a.\) Thay vào \(\left( * \right)\) và đưa về phương trình bậc hai sau đó áp dụng định lý Vi-et để tìm tích hai nghiệm. 

Giải chi tiết:

Điều kiện \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}>0\Leftrightarrow x>0.\)

Đặt \(t=\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}.\)

Phương trình đã cho trở thành \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\)

Các hàm số \({{\log }_{2}}t,\,{{2}^{t}}\) là các hàm số đồng biến, hơn nữa \({{\log }_{2}}2+{{2}^{2}}=5\) do đó \(t=2\) là nghiệm duy nhất của phương trình \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\)

Khi đó \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{x}^{2}}+1=4x \\& x\ne 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\left( \Delta '={{2}^{2}}-2=2>0 \right).\) Áp dụng định lý Vi-et ta có tích hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{1}{2}.\)

Chọn đáp án D.