Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp. Sử dụng kết quả điều kiện cần và đủ cho một cực trị của hàm số. Áp dụng vào bài tập này. Ta tính đạo hàm \(y'\) Tìm điều kiện để \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt. Sử dụng tiếp điều kiện để cực trị là âm để loại phương án.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này đều âm.

Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị thì điều kiện cần là \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt. Khi đó \(4a{x^3} + 2bx = 0\) cần có ba nghiệm phân biệt. Ta có \(4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2a{x^2} + b = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\)

Để \(4a{x^3} + 2bx = 0\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \(1\) cần có hai nghiệm phân biệt khác \(0.\) Do đó

\(\left\{ \begin{array}{l}a,b \ne 0\\- \frac{b}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a,b \ne 0\\ab < 0\end{array} \right..\)

Mặt khác ta lại có \(y\left( 0 \right) = c\) nên \(x=0\)  là điểm cực trị thì ta phải có \(y\left( 0 \right) = c < 0.\) Do đó đáp án \(A,C\) bị loại.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \) nên trong trường hợp này \(a>0.\)  Và do đó \(b<0\)  (vì \(ab<0\) ).

Chọn đáp án B.