Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật....

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)      Chứng minh MN // EF với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

2)      Chứng minh SI là giao tuyến của (SAB) và (SCI).

\(BM \subset \left( {SAB} \right);\,\,CN \subset \left( {SCD} \right)\) nên giao điểm của BM và CN thuộc giao tuyến của (SAB) và (SCD).

3)      Xác định G, tính tỉ số \(\frac{{SG}}{{SO}}\).

Giải chi tiết:

1)      Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Trong (SEF) có: \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN//EF\) (Định lí Ta-lét đảo)

Mà \(EF \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\).

2)      Xét 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có:

S chung;

AB // CD (ABCD là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \exists \Delta \) thỏa mãn

\(\left\{ \begin{gathered}  S \in \Delta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\  AB//CD//\Delta \,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)

\(BM \subset \left( {SAB} \right);\,\,CM \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I = BM \cap CN\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow I \in \Delta \)  (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow SI//AB//CD \Rightarrow SI//CD \Rightarrow SI//FC\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{SI}}{{FC}} = \frac{{SN}}{{NF}}\)

Nên N là trọng tâm tam giác SCD \( \Rightarrow \frac{{SN}}{{NF}} = 2 \Rightarrow \frac{{SI}}{{FC}} = 2\)

\(\frac{{SI}}{{FC}} = \frac{{SI}}{{\frac{{CD}}{2}}} = \frac{{2SI}}{{CD}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{CD}} = 1\)

3)      Ta xác định G là giao điểm của MN và (SAC), \(MN \subset \left( {SEF} \right)\)

EF là đường nối 2 trung điểm của hình chữ nhật ABCD, gọi \(AC \cap BD = O\) \( \Rightarrow EF\) đi qua O và \(AC \cap EF = O\)

Xét \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SEF} \right)\) có :

S chung ;

\(AC \cap E = O\)

\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SEF} \right) = SO\)

\(G = SO \cap MN = MN \cap \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( 4 \right)\)

Ta lại có:

MN // EF

\(G \in MN;\,\,O \in EF\)

S, G, O thẳng hàng

\( \Rightarrow GM//EO\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\)

SO là trung tuyến của tam giác SBD (6)

Từ (4), (5) và (6) ta có G là trọng tâm tam giác SBD.