Xác định giao điểm Q của mặt phẳng (M...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh PQ // SA bằng cách áp dụng định lí Ta-lét đảo, từ đó áp dụng định lí Ta-lét tính PQ.

Giải chi tiết:

Theo 1.2 ta đã xác định được \(Q = MF \cap SC.\) Mà \(MF \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow Q = SC \cap \left( {MNP} \right)\).

Trong (ABC), lấy \(G \in NF\) sao cho \(GC//AB\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{GC}}{{AN}} = \dfrac{{PC}}{{AP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow GC = \dfrac{1}{2}AN\). Mà \(AN = BN\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow GC = \dfrac{1}{2}BN\).

\( \Rightarrow \dfrac{{GC}}{{BN}} = \dfrac{{FG}}{{FN}} = \dfrac{{FC}}{{FB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C\) là trung điểm của BF.

Trong (SBC) kẻ \(EC//SB\,\,\left( {E \in MF} \right)\) .

Xét tam giác FBM có :

C là trung điểm của BF (cmt);

\(EC//SB\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của MF (Định lí đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow EC\) là đường trung bình của tam giác FMB \( \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{MB}} = \dfrac{1}{2}\). Mà \(MB = SM \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{SM}} = \dfrac{1}{2}\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{EC}}{{SM}} = \dfrac{{QC}}{{SQ}} = \dfrac{1}{2}\). Mà \(AP = 2PC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{AP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{QC}}{{SQ}} = \dfrac{{PC}}{{AP}} \Rightarrow PQ//SA\) (định lí Ta-lét đảo) và \(\dfrac{{PQ}}{{SA}} = \dfrac{{PC}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow PQ = \dfrac{1}{3}SA = \dfrac{1}{3}.12 = 4\,\,\left( {cm} \right)\).