Biết \(0 < x \le y\) và\(\left( {\dfrac{{{{\lef...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức để rút gọn các phân thức.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right) + 2\left( {x + 2y} \right)}}} \right) + \left( {\dfrac{y}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}} + \dfrac{x}{{\sqrt y \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}} \right) = \dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y + 2\sqrt {xy}  + x + y - 2\sqrt {xy} }}{{x - y + 2x + 4y}} + \dfrac{{y\sqrt y  + x\sqrt x }}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{3\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + y - \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} }} = 1\\ \Leftrightarrow x + y - \sqrt {xy}  = \sqrt {xy} \\ \Leftrightarrow x + y - 2\sqrt {xy}  = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = y\\ \Rightarrow \dfrac{x}{y} = 1\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{x}{y} = 1\).