Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c...

A

- Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương pháp:

+ Xác định chiều cao của hình chóp

+ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Bước 2: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Kẻ đường trung trực một cạnh bên giao với trục đường tròn ở đâu đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dựa vào định lý Pytago.

+ Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích là $S=4\pi R^2$

Cách giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB; CD .

Kẻ SH$\perp$MN tại H .

Ta có SN$\perp$DC ; MN $\perp$DC   

$\Rightarrow$DC$\perp$( SMN )

$\Rightarrow$DC$\perp$SH

Mà SH $\perp$MN

$\Rightarrow$ SH $\perp$(ABCD).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên:

Vì tam giác SDC vuông cân tại S có cạnh huyền CD = a 

$\Rightarrow$SN=$\frac{a}{2}$

Vì tam giác ABS  đều cạnh a

$\Rightarrow$ SM =  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SNM có:

$\Rightarrow$$△SMN$ vuông tại S.

Suy ra:

Nhận thấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .

Kẻ tia Oy / /SH  , khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD nằm trên đường thẳng Oy.

Trên tia OM  ta lấy K sao cho OK = OA =$\frac{a\sqrt{2}}{2}$, khi đó K $\in$ (O; OA)

Trong mặt phẳng (SMN ), lấy E là trung điểm SK , kẻ EI  là đường trung trực của SK  (I $\in$ Oy).

Khi đó:

IK = IS = IA = IB = IC = ID nên I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD và bán kính là R = IK.

Kẻ SF $\perp$Oy

Gắn hệ trục Oxy với OM $\equiv$Ox; Oy / /SH

Đặt $I(0,y_o)$

Xét tam giác vuông ISF có:

Xét tam giác vuông OIK có:

Vì 

Suy ra bán kính mặt cầu:

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: