Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng

C

- Hướng dẫn giải

* Ta có: \(\frac{{d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{BD}}{{OD}} = 2 \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 2.d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH\). Trong đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (SCD)

* Gọi I là trung điểm của CD ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
SI \bot CD\\
OI \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {OI;SI} \right) = \widehat {SIO} = 60^\circ \)

.Xét tam giác SOI vuông tại O ta có: \(SO = OI.\tan 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

* Do SOCD là tứ diện vuông tại O nên:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\\
 \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
\end{array}\).