Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{...

D

- Hướng dẫn giải

Cách 1. Bấm máy tính Casio fx 570 theo công thức \(\sum\limits_{X = 1}^{100} {\left( {\frac{{{4^{\frac{X}{{100}}}}}}{{{4^{\frac{X}{{100}}}} + 2}}} \right)}  = \frac{{301}}{6}\).

Cách 2. Sử dụng tính chất \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 1\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\). Ta có

\(\begin{array}{l}A = \left[ {f\left( {\frac{1}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{99}}{{100}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{98}}{{100}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\frac{{49}}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{51}}{{100}}} \right)} \right] + f\left( {\frac{{50}}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{{100}}{{100}}} \right)\\\,\,\,\,\, = 49 + \frac{{{4^{\frac{1}{2}}}}}{{{4^{\frac{1}{2}}} + 2}} + \frac{4}{{4 + 2}} = \frac{{301}}{6}\end{array}\)PS: Chứng minh tính chất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\).

Ta có \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{{{4^{1 - x}}}}{{{4^{1 - x}} + 2}} = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{4}{{4 + {{2.4}^x}}} = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \frac{2}{{2 + {4^x}}} = 1\).