Nghiệm của phương trình \(\sin x + \cos x = \sin x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Phương trình trở thành \(t = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\\t = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(t = 1 - \sqrt 2  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \arcsin \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \pi  - \arcsin \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + \arcsin \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{4} - \arcsin \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn A