Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \left| {\sin x + \cos x} \right|\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), suy ra \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \left| {\sin x + \cos x} \right|\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), suy ra \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Phương trình trở thành: \(\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + t = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(t = 1\), ta được \(\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) ta có: \(0 < \dfrac{{k\pi }}{2} < 2\pi  \Leftrightarrow 0 < \dfrac{k}{2} < 2 \Leftrightarrow 0 < k < 4\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\dfrac{\pi }{2} + \pi  + \dfrac{{3\pi }}{2} = 3\pi \).

Chọn C