Giải phương trình: \(\sqrt {x + 2}  - 2\sqrt {x -...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

+) Biến đổi phương trình đã cho sau đó giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

+) Giải tìm nghiệm, đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 1.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {x + 2}  - 2\sqrt {x - 1}  = 3x - 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  - 2\sqrt {x - 1}  = x + 2 + 2x - 2 - 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  - 2\sqrt {x - 1}  = \left( {x + 2} \right) + 2\left( {x - 1} \right) - 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {x + 2} \,\,\,\left( {a \ge 0} \right)\\b = \sqrt {x - 1} \,\,\,\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right..\)  Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow a - 2b = {a^2} + 2{b^2} - 3ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2{b^2} - 2ab - ab - a + 2b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab} \right) + \left( {2{b^2} - ab} \right) - \left( {a - 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {a - 2b} \right) - b\left( {b - 2b} \right) - \left( {a - 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right)\left( {a - b - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2b = 0\\a - b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b\\a = b + 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(a = 2b \Rightarrow \sqrt {x + 2}  = 2\sqrt {x - 1}  \Leftrightarrow x + 2 = 4x - 4 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\)

+) Với \(a = b + 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  = \sqrt {x - 1}  + 1 \Leftrightarrow x + 2 = x - 1 + 1 + 2\sqrt {x - 1} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)

Chọn A.