Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp dường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của đường cao và tỉ lệ tam giác.

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle BHM = \angle AHN = {90^0} - \angle HAC\\\angle BMH = \angle BMA = \angle BCA = {90^0} - \angle HAC\end{array} \right. \Rightarrow \angle BHM = \angle BMH\)

Do đó \(\Delta BHM\)cân tại \(B \Rightarrow \) Đường cao \(BD\) đồng thời là trung tuyến.

\( \Rightarrow DH = DM\).

Chứng minh tương tự ta được: \(HE = EN,\,\,\,HF = FP\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}}\\ = \dfrac{{AD + DM}}{{AD}} + \dfrac{{BE + EN}}{{BE}} + \dfrac{{CF + FP}}{{CF}}\\ = 3 + \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{EN}}{{BE}} + \dfrac{{FP}}{{CF}}\\ = 3 + \dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}}\end{array}\)

Mặt khác: \(\dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\)

Vậy \(\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}} = 4\) (đpcm).