(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Đại học...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}n + 5 = {a^2}\\n + 30 = {b^2}\end{array} \right. \Rightarrow {b^2} - {a^2} = 25\). Sử dụng phương pháp ước số giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải chi tiết:

Đặt \(n + 5 = {a^2};\,\,\,n + 30 = {b^2}\,\,\,\left( {{a^2} \ge 6;\,\,{b^2} \ge 30} \right)\) với \(a,\,\,b\) là số tự nhiên.

Suy ra: \({b^2} - {a^2} = 25 \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) = 25\).

Do \(a,\,\,b \in \mathbb{N}\), do đó \(b - a,\,\,b + a \in U\left( {25} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5; \pm 25} \right\}\).

Lại có \({b^2} > {a^2} \Rightarrow b > a \Rightarrow 0 < b - a < b + a\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - a = 1\\b + a = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 13\\a = 12\end{array} \right. \Rightarrow n = 139\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(n = 139\).

Chọn A.