Cho tam giác \(ABC\). Kẻ đường cao \(AH.\) Bên ngo...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M.\) Chứng minh \(\angle EAD = \angle ABC\).

- Từ đó suy ra \(\angle EAD + \angle BAH = {90^0}\).

- Chứng minh \(\angle DAH = {180^0}\), từ đó suy ra \(M,\,\,A,\,\,H\) thẳng hàng.

Giải chi tiết:

Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M.\)

Ta có tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Xét tam giác \(DEA\) và tam giác \(CAB\) ta có:

\(AE = AB\);

\(ED = AF = AC;\)

\(\begin{array}{l}\angle DEA = {180^0} - \angle EAF\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - \angle EAB - \angle FAC - \angle BAC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - {{90}^0} - {{90}^0} - \angle BAC} \right) = \angle BAC\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta DEA = \Delta CAB\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {EAD} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow \angle EAD + \angle BAH = \angle ABC + \angle BAH = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle EAD + \angle BAH + \angle BAE = {180^0} \Rightarrow \angle DAH = {180^0}.\)

Vậy \(M,\,\,A,\,\,H\) thẳng hàng.