Cho đường tròn \(O\) và dây cung \(BC\) cố định. G...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Góc nội tiếp đường tròn .

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\angle DKB = \dfrac{1}{2}\left( {sdAD + sdAK} \right)\), \(\angle DIB = \dfrac{1}{2}\left( {sdBD + sdDK} \right)\).

Vì \(sdBD = sdBA\) và \(\Delta DBI\) cân tại \(D\) nên \(sdKC = sdKA\).

Suy ra \(AK = CK \Rightarrow \Delta KAC\) cân tại \(K\).

b) Từ kết quả câu a) ta thấy \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên đường thẳng \(AI\) luôn đi qua điểm \(J\) (điểm chính giữa của cung \(BC\) không chứa \(A\)). Rõ ràng \(J\) là điểm cố định.

c) Phần thuận:

\(\Delta AMC\) cân tại \(A\) nên \(\angle BMC = \dfrac{1}{2}\angle BAC\). Giả sử số đo \(\angle BAC = 2\alpha \)  (không đổi) thì khi \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) thì \(M\) thuộc cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn \(BC\) về phía \(O\).

Phần đảo:

Tiếp tuyến \(Bx\) với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt cung chứa góc \(\alpha \)vẽ trên đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(X\). Lấy điểm \(M\) bất kì trên cung \(CX\) ( một phần của cung chứa \(\alpha \) và vẽ trên đoạn \(BC\)).

Nếu \(MB\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) thì rõ ràng \(A\) thuộc cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\).

Vì \(\angle BAC = 2\alpha ,\,\,\angle AMC = \alpha \) suy ra \(\Delta AMC\) cân tại \(A\) hay \(AC = AM\).

Kết luận: Quỹ tích của các điểm \(M\) là cung \(Cx\), một phần của cung chứa góc \(\alpha \) vẽ trên đoạn \(BC\) về phía \(O\) trừ hai điểm \(C\) và \(X\).