Chứng minh rằng: Nếu \(m,\,\,n\) là các số tự nhiê...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất đặc biệt “\(\left( {a;b} \right) = 1\) và \(ab\) là số chính phương \( \Rightarrow \) \(a,\,\,b\) là số chính phương.

Giải chi tiết:

Ta có : \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - {n^2}} \right) + \left( {m - n} \right) = {m^2} \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {4m + 4n + 1} \right) = {m^2}\,\,\left( * \right)\).

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) thì \(\left( {4m + 4n + 1} \right) + 4\left( {m - n} \right)\) chia hết cho \(d\) \( \Rightarrow 8m + 1\) chia hết cho \(d\).

Mặt khác, từ (*) ta có: \({m^2}\,\, \vdots \,\,{d^2} \Rightarrow m\,\, \vdots \,\,d\).

Từ \(8m + 1\) chia hết cho \(d\) và \(m\) chia hết cho \(d\) ta có \(1\) chia hết cho \(d\) suy ra \(d = 1\).

Vậy \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) là các số nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.