Xác định tất cả các giá trị của a để góc...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 VTPT (VTCP) của 2 đường thẳng đó: \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {a; - 2} \right)\) là một VTCP

\({\Delta _2}:3x + 4y - 2 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\) là một VTPT \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {4; - 3} \right)\) là 1 VTCP của \({\Delta _2}\)

Góc tạo bởi hai đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) một góc bằng \({45^o}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {4a + 6} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 4} .\sqrt {16 + 9} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4a + 6} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {4a + 6} \right| = 5\sqrt {{a^2} + 4} \\ \Leftrightarrow 2\left( {16{a^2} + 48a + 36} \right) = 25\left( {{a^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn B.