Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi \(H,\,K\)  lần l...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng: +) Tính chất đường trung bình của tam giác.

+) Dấu hiệu nhận biết của hình thang, hình bình hành, hình thoi

+) Tính chất tam giác cân, tính chất hình bình hành

Giải chi tiết:

a. Xét \(\Delta ABC\) có: \(H,\,K\)  lần lượt là trung điểm của \(BC\)  và \(AC\) (gt)

\( \Rightarrow HK\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow HK//AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHK\)  là hình thang (dhnb)

b. Xét tứ giác \(ABEC\)  có: \(H\)  là trung điểm của \(A{\rm{E}}\)  và \(BC\)  (gt) nên suy ra tứ giác \(ABEC\)  là hình bình hành (dhnb)

Lại có, \(\Delta ABC\) cân tại \(A\;\left( {gt} \right) \Rightarrow AB = AC\)   (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \) Hình bình hành \(ABEC\)  có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thoi (dhnb)

c. Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)  (gt), mà \(AH\)  là trung tuyến

\( \Rightarrow \) \(AH\)  cũng là đường cao của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AH \bot BC\)

Mà \(AD \bot AH\left( {gt} \right) \Rightarrow AD//BH\;\;\left( { \bot AH} \right)\)

Lại có: \(AB//DH\) (do \(D,\,H,\,K\)  thẳng hàng)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ADHB\)  là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow AD = BH\) (tính chất)

d. Gọi \(O\) là trung điểm của \(HN\) và \(I\) là trung điểm của \(AN\left( {gt} \right) \Rightarrow I{\rm{O}}\) là đường trung bình của \(\Delta ANH\) (dhnb)

\( \Rightarrow I{\rm{O}}//AH\) (tính chất)

Mà \(AH \bot BC \Rightarrow OI \bot BC\)  hay \(OI\) là đường cao của tam giác \(BIH.\)

Xét \(\Delta BIH\) có đường cao HN và IO cắt nhau tại O nên O là trực tâm của \(\Delta IBH\)

\( \Rightarrow BO\) là đường cao của \(\Delta IBH\)

Hay \(BO \bot IH.\;\;\;\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta MNH\) có: \(B\) là trung điểm của \(MH,\;\;O\) là trung điểm của \(NH.\)

\( \Rightarrow BO\) là đường trung bình của \(\Delta MNH\) \( \Rightarrow BO//MN\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot HI\) .