Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho Parabol \(\left...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m =  - 1\) vào phương trình đường thẳng \(d.\)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm, giải phương trình đó để tìm hoành độ 2 giao điểm, từ đó suy ra tọa độ của chúng.

b) \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

Từ đề bài tìm ra hệ thức liên hệ giữa \({x_1}\) và \({x_2}\), biến đổi biểu thức đó sao cho chỉ còn \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\), sử dụng hệ thức Vi-ét thế vào để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - 2m + 1\) 

a) Với\(m =  - 1\), hãy tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là :

\(2mx - 2m + 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)   

Với \(m =  - 1,\;\;\left( 1 \right)\) trở thành \({x^2} + 2x - 3 = 0\)

Có \(\Delta ' = {1^2} + 3 = 4 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 2\)

Với \(m =  - 1\) phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2 = 1 \Rightarrow y = 1\\x =  - 1 - 2 =  - 3 \Rightarrow y = 9\end{array} \right..\)

Vậy với\(m =  - 1\) giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\)là hai điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( { - 3;9} \right)\)

b) Tìm m để \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2.

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B \( \Leftrightarrow \) (1) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ của hai điểm A và B

\( \Rightarrow {x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của (1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.\)

Vì \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) đều thuộc \(\left( P \right):y = {x^2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1}^2\\{y_2} = {x_2}^2\end{array} \right.\)

Tổng các tung độ của hai giao điểm bằng 2

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_1} + {y_2} = 2 \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 2\left( {2m - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 2 = 2 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

 Vậy với \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.