Giải phương trình:  \(\sqrt x  + \sqrt {x + 7}  +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai.

Giải chi tiết:

Phương trình: \(\sqrt x  + \sqrt {x + 7}  + 2\sqrt {{x^2} + 7x}  + 2x = 35\)

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

Đặt \(\sqrt x  + \sqrt {x + 7}  = t\;\;\left( {t \ge \sqrt 7 } \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = x + x + 7 + 2\sqrt {x\left( {x + 7} \right)}  \Leftrightarrow 2x + 2\sqrt {{x^2} + 7x}  = {t^2} - 7.\\ \Rightarrow PT \Leftrightarrow {t^2} + t - 42 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 7\;\;\left( {ktm} \right)\\t = 6\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt {x + 7}  = 6 \Leftrightarrow 2x + 7 + 2\sqrt {{x^2} + 7x}  = 36\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 7x}  = 29 - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}29 - 2x \ge 0\\4\left( {{x^2} + 7x} \right) = {\left( {29 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{29}}{2}\\4{x^2} + 28x = 841 - 116x + 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{29}}{2}\\144x = 841\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{29}}{2}\\x = \frac{{841}}{{144}}\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{841}}{{144}}.\end{array}\) 

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{841}}{{144}}} \right\}.\)

Chọn A.