Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác BCHK có tổng hai góc đối bằng 180⁰

b) Chứng minh tam giác AMH đồng dạng với tam giác AMK.

c) Lấy điểm E thuộc KN sao cho KE = KM.

Chứng minh KM = KE; KB = KN \( \Rightarrow KM + KN + KB = 2KN\).

Tìm GTLN và GTNN của KN.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\widehat {AKB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác BCHK có \(\widehat {BCH} + \widehat {BKH} = {90^0} + {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Ta có \(OA \bot MN\) tại C \( \Rightarrow C\) là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \Delta AMN\) có AC là đường cao đồng thời là trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A \Rightarrow AM = AN \Rightarrow \) sđ cung AM = sđ cung AN.

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AKM}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tam giác AMN và AKM có:

\(\widehat {MAK}\) chung;

 \(\widehat {AMN} = \widehat {AKM}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\(\Rightarrow \Delta AMH\backsim \Delta AKM\,\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{AK}=\frac{AH}{AM}\Rightarrow A{{M}^{2}}=AH.AK\).

c) Lấy điểm E thuộc KN sao cho \(KM = KE\).

Xét tam giác vuông AMB có: \(A{M^2} = AC.AB = \frac{R}{2}.2R = {R^2} \Rightarrow AM = R\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \sin \widehat {ABM} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABM} = {30^0}\)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = {60^0}\) (tính đối xứng).

\( \Rightarrow \widehat {MKE} = \widehat {MKN} = \widehat {MBN} = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN).

\( \Rightarrow \Delta AKE\) đều \( \Rightarrow KM = KE = ME\).

Ta có AB là trung trực của MN \( \Rightarrow BM = BN\)

Lại có \(\widehat {MBN} = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta BMN\) đều \( \Rightarrow MB = MN = BN\) và \(\widehat {BMN} = {60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {KME} = {60^0}\\ \Rightarrow \widehat {BMN} - \widehat {BME} = \widehat {KME} - \widehat {BME}\\ \Leftrightarrow \widehat {EMN} = \widehat {KMB}\end{array}\) 

Xét tam giác KMB và tam giác EMN có:

KM = EM;

MB = MN;

\(\widehat {EMN} = \widehat {KMB}\,\,\left( {cmt} \right);\)

\( \Rightarrow \Delta KMB = \Delta EMN\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow KB = EN\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow S = KM + KN + KB = KE + \left( {KE + EN} \right) + EN = 2\left( {KE + EN} \right) = 2KN\)

KN lớn nhất khi và chỉ khi KN là đường kính của đường tròn O, khi đó KN = 2R và \({S_{\max }} = 4R\)

KN nhỏ nhất khi và chỉ khi \(K \equiv M \Rightarrow KN = MN \Rightarrow {S_{\min }} = 2MN\)

Xét tam giác vuông AMB cos \(M{C^2} = AC.BC = \frac{R}{2}.\frac{{3R}}{2} = \frac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow MC = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MN = R\sqrt 3  \Rightarrow {S_{\min }} = 2R\sqrt 3 \)

Vậy \({\left( {KM + KN + KB} \right)_{\max }} = 4R\) và  \({\left( {KM + KN + KB} \right)_{\min }} = 2R\sqrt 3 \).