a)      Giải phương trình: \(\sqrt {2x + 1}  + 3\s...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Sử dụng ẩn phụ và hẳng đẳng thức: \({a^3} + {b^3}\)

b)      Biến đổi 1 trong 2 phương trình để đưa về phương trình tích.

Giải chi tiết:

a)      Giải phương trình: \(\sqrt {2x + 1}  + 3\sqrt {4{x^2} - 2x + 1}  = 3 + \sqrt {8{x^3} + 1} \)

Ta có:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\4{x^2} - 2x + 1 \ge 0\\8{x^3} + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{2}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {2x + 1} \\b = \sqrt {4{x^2} - 2x + 1} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a;\,\,b \ge 0\\ab = \sqrt {\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 2x + 1} \right)}  = \sqrt {8{x^3} + 1} \end{array} \right.\)

Phương trình đã cho trở thành: \(a + 3b = 3 + ab \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {1 - b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 9\\4{x^2} - 2x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\2x\left( {2x - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 0\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ {4;\frac{1}{2};0} \right\}\)

b)     Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2y - 3 = 0\\16{x^2} - 8x{y^2} + {y^4} - 2y + 4 = 0\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2y - 3 = 0\\16{x^2} - 8x{y^2} + {y^4} - 2y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 = 4 - 2y\\16{x^2} - 8x{y^2} + {y^4} = 4 - 2y\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} - 2x + 1 = 16{x^2} - 8x{y^2} + {y^4}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {4x - {y^2}} \right)^2} = 4 - 2y\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 4x - {y^2}\\x - 1 = {y^2} - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{{y^2} - 1}}{3}\\x = \frac{{{y^2} + 1}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(x = \frac{{{y^2} - 1}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{y^4} - 2{y^2} + 1}}{9} - \frac{{2\left( {{y^2} - 1} \right)}}{3} + 2y - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {y^4} - 2{y^2} + 1 - 6{y^2} + 6 + 18y - 27 = 0\\ \Leftrightarrow {y^4} - 8{y^2} + 18y - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {{y^3} + 2{y^2} - 4y + 10} \right) = 0\\ \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 1.\end{array}\)

TH2: \(x = \frac{{{y^2} + 1}}{5}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{y^4} + 2{y^2} + 1}}{{25}} - \frac{{2\left( {{y^2} + 1} \right)}}{5} + 2y - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {y^4} + 2{y^2} + 1 - 10{y^2} - 10 + 50y - 75 = 0\\ \Leftrightarrow {y^4} - 8{y^2} + 50y - 84 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {{y^3} + 2{y^2} - 4y + 42} \right) = 0\\ \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 1.\end{array}\)

Vậy nghiệm nguyên duy nhất của hệ đã cho là \(\left( {1;2} \right)\).