Giả sử số tự nhiên có ba chữ số \(\overline{abc}\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Mọi số tự nhiên dạng \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}.....{{a}_{n}}}\) đều có thể viết dưới dạng \({{a}_{1}}{{.10}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{.10}^{n-2}}+...+{{a}_{n}}{{.10}^{0}}\)  Từ đó biện luận để được điều cần chứng minh

Giải chi tiết:

Vì số tự nhiên có ba chữ số \(\overline{abc}\) và \(\overline{xyz}\) có cùng số dư khi chia cho 11, vậy nên với \({{k}_{1}},{{k}_{2}},m\in \mathbb{N}\) ta có:

\(\overline{abc}=11.{{k}_{1}}+m\Rightarrow \frac{\overline{abc}}{11}={{k}_{1}}\) dư \(m\)

\(\overline{xyz}=11.{{k}_{2}}+m\Rightarrow \frac{\overline{xyz}}{11}={{k}_{2}}\)  dư \(m\)

Xét số tự nhiên

\(\begin{align}  & \overline{abcxyz}=a{{.10}^{5}}+b{{.10}^{4}}+c{{.10}^{3}}+x{{.10}^{2}}+y.10+z \\ & ={{10}^{3}}\left( a{{.10}^{2}}+b.10+c \right)+\left( x{{.10}^{2}}+y.10+z \right)={{10}^{3}}.\overline{abc}+\overline{xyz} \\\end{align}\)

Xét phép chia

\(\begin{align}  & \frac{\overline{abcxyz}}{11}=\frac{{{10}^{3}}\overline{abc}+\overline{xyz}}{11}={{10}^{3}}.\left( {{k}_{1}}+\frac{m}{11} \right)+{{k}_{2}}+\frac{m}{11} \\ & ={{10}^{3}}.{{k}_{1}}+{{k}_{2}}+\frac{{{10}^{3}}+1}{11}m={{10}^{3}}{{k}_{1}}+{{k}_{2}}+91m \\\end{align}\)

Vì \({{k}_{1}},{{k}_{2}},m\in \mathbb{N}\) nên \({{10}^{3}}.{{k}_{1}}+{{k}_{2}}+91m\) cũng là số tự nhiên. Suy ra \(\overline{abcxyz}\) chia hết cho 11 (đpcm).