Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: \(a+b+c+...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Sử dụng bất đẳng thức Cô Si, chú ý mò ra dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 từ đó chọn các bất đẳng thức.

Giải chi tiết:

Ta có : \({{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\ \ \forall \ x,\ y\in R.\)

Dấu’’=’’ xảy ra \(\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=y.\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :\(\left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}+1\ge 2a \\ & {{b}^{2}}+1\ge 2b \\ & {{c}^{2}}+1\ge 2c \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab \\ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc \\ & {{c}^{2}}+{{a}^{2}}\ge 2ac \\\end{align} \right.\Rightarrow 3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1)\ge 2\left( a+b+c+ab+bc+ca \right)=2.6=12\)

\(\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\ge 4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3.\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1.\)

Vậy \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3.\)