a)      Cho phương trình \({x^2} + 2mx - 1 - 2m =...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Chứng minh \(\Delta  \ge 0\,\,\forall m\), sử dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai.

b)      Biến đổi \(\sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z}}}  = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z\left( {x + y + z} \right)}}}  = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} \) , sử dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm \(\dfrac{x}{{z + x}};\,\,\dfrac{y}{{y + z}}\) , chứng minh tương tự cho hai căn thức còn lại.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\Delta ' = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m.

Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}{x_2} =  - 2m - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 1}}{{x_1^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} + 1 - 2m}}\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} + 1 - 2m}}\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{ - 4m - 1}}{{4{m^2} + 2}} = \dfrac{{ - 4m - 1}}{{4{m^2} + 2}} + 1 - 1\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}{{4{m^2} + 2}} - 1 \ge  - 1.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là – 1 đạt tại \(m = \dfrac{1}{2}.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

\(\sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z}}}  = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z\left( {x + y + z} \right)}}}  = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}}  \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{y}{{y + z}}} \right)\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {\dfrac{{yz}}{{yz + x}}}  \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{z}{{z + x}}} \right)\\\sqrt {\dfrac{{xz}}{{xz + y}}}  \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{z}{{y + z}} + \dfrac{x}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow P \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{z}{{x + z}} + \dfrac{z}{{y + z}} + \dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{y}{{y + z}}} \right)\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + z}}} \right) + \left( {\dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{x}{{x + y}}} \right) + \left( {\dfrac{z}{{y + z}} + \dfrac{y}{{y + z}}} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{1}{2}.3 = \dfrac{3}{2}.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\dfrac{3}{2}\) đạt tại: \(x = y = z = \dfrac{1}{3}.\)