Giải phương trình \({x^2} + 6x - 5 - \left( {2x +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định.

+) Tách các số hạng để đặt ẩn phụ, từ đó tìm ra nghiệm.

+) Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ge  - 1\).

Với điều kiện trên ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{x^2} + 6x - 5 - \left( {2x + 5} \right)\sqrt {x + 1}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + x + 2 + x + 1 + 4 - 2\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x + 1}  - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - 2\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 1}  + x + 1 + \left( {x + 2 - \sqrt {x + 1} } \right) - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 2\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 1}  + x + 1} \right] + \left( {x + 2 - \sqrt {x + 1} } \right) - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2 - \sqrt {x + 1} } \right)^2} + \left( {x + 2 - \sqrt {x + 1} } \right) - 12 = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(x + 2 - \sqrt {x + 1}  = t\) ta có:

 \(\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 3} \right)\left( {t + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 4\end{array} \right.\)

+) Với \(t = 3\) ta có:

\(\begin{array}{l}x + 2 - \sqrt {x + 1}  = 3 \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} = x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 1 - x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x\left( {x - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

+) Với \(t =  - 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}x + 2 - \sqrt {x + 1}  =  - 4 \Leftrightarrow x + 6 = \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 6\\{\left( {x + 6} \right)^2} = x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 6\\{x^2} + 12x + 36 - x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 6\\{x^2} + 11x + 35 = 0\left( {vn} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 3\).

Chọn C.