Cho điểm \(A\) cố định, \(\angle xAy = {60^o}\) và...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ và suy ra điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tứ giác \(MIND\) có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

c) Chứng minh \(I,\;O,\;D\) thẳng hàng, từ đó tính ra độ dài \(OI\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng \(HK = 2MN.\)

Xét \(\Delta ANH\)vuông tại \(N\) có:

\(\cos \left( {\angle NAH} \right) = \cos {60^o} = \frac{{AN}}{{AH}} = \frac{1}{2}\)

Xét tứ giác \(MNKH\) có:

\(\angle NKM = \angle NHM = {30^o}\)(do cùng phụ với \(\angle NAH\))

Mà hai góc này cùng nhìn đoạn NM.

\( \Rightarrow MNKH\) là tứ giác nội tiếp đường tròn (dhnb).

\( \Rightarrow \angle ANM = \angle AHK\) (góc có đỉnh nằm ngoài bằng góc

trong tại đỉnh đối diện).

Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta AHK\) có

\(\begin{array}{l}\angle NAH\;\;chung\\\angle ANM = \angle AHK\;\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ANM \sim \Delta AHK\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{NM}}{{HK}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow HK = 2NM\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Gọi \(I,D\) lần lượt là trung điểm của \(AB,HK\). Chứng minh rằng tứ giác \(MIND\) nội tiếp

Xét tứ giác \(MANB\) có \(\angle ANB + \angle AMB = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)

\( \Rightarrow MANB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Vì \(\angle ANB = \angle AMB = {90^0} \Rightarrow MANB\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(I,\;\;\) đường kính \(AB.\)

Xét đường tròn \(\left( {I;\;\;\frac{{AB}}{2}} \right)\)  ta có:

\(\angle NAM\) là góc nội tiếp chắn cung \(MN\)

\(\angle NIM\) là góc ở tâm chắn cung \(MN\)

\( \Rightarrow \angle MIN = 2\angle NAM = {2.60^o} = {120^o}\) (tính chất)

Ta có: \(\angle KNH = \angle KMH = {90^0} \Rightarrow MNKH\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(D,\) đường kính \(KH.\)

Xét đường tròn \(\left( {D;\;\;\frac{{HK}}{2}} \right)\)  ta có:

\(\angle NKM\) là góc nội tiếp chắn cung \(MN\)

\(\angle NDM\) là góc ở tâm chắn cung \(MN\)

\( \Rightarrow \angle MDN = 2\angle NKM = {2.30^o} = {60^o}\) (tính chất)

Xét tứ giác \(MIND\) có \(\angle NDM + \angle NIM = {120^o} + {60^o} = {180^o}\)

Suy ra tứ giác \(MNKH\)nội tiếp đường tròn (dhnb) (đpcm).

c) Giả sử \(AB = 8cm\), gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\). Tính độ dài \(IO\).

Nhận thấy trong hai tam giác vuông \(ANB,AMB\) có \(IN,IM\)là hai đường trung tuyến ứng với cạnh huyền\( \Rightarrow IN = IM = \frac{1}{2}AB = 4\;\;cm.\)

Tương tự ta có \(ND = MD = \frac{1}{2}KH\)

Xét \(\Delta IND\) và \(\Delta IMD\) có : \(IM = IN\;\left( {cmt} \right),\;\;ND = MD\;\;\left( {cmt} \right),\;\;ID\) chung

\( \Rightarrow \Delta IND = \Delta IMD\;\;\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \angle NID = \angle MID\) (các góc tương ứng bằng nhau)

\( \Rightarrow ID\) là phân giác \(\angle NIM\).

Xét \(\Delta MIN\) cân tại \(I\) có \(ID\) là phân giác \(\angle NIM\)\( \Rightarrow ID\) đồng thời là trung trực của cạnh \(MN\)

Suy ra \(ID\) cắt \(MN\) tại trung điểm của \(MN\)

Mà có \(O\) là trung điểm của \(MN\) suy ra ba điểm \(I,\;O,\;D\) thẳng hàng

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle NIO = \angle NID = \frac{1}{2}\angle NIM = \frac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\\ \Rightarrow IO = IN.cos\left( {\angle NIO} \right) = 4.cos{60^o} = 2\;\;cm.\end{array}\)