1) Tính giá trị của biểu thức: \(A = \sqrt {4 - 2\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..\)

2) a) Đặt \({x^2} = t\;\;\left( {t \ge 0} \right),\) đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình ẩn t sau đó tìm ẩn x.

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

3) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) để tính giá trị các biểu thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}1)\;\;A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  - \frac{1}{2}\sqrt {12} \\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\sqrt 3 .1 + 1}  - \frac{1}{2}.\sqrt {{2^2}.3} \\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  - \frac{{2\sqrt 3 }}{2}\\\;\;\;\;\;\;\; = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| - \sqrt 3 \\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt 3  - 1 - \sqrt 3  =  - 1.\;\;\left( {do\;\;\sqrt 3  - 1 > 0} \right).\end{array}\)

2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

\(a)\;{x^4} + {x^2} - 20 = 0\)

Đặt \({x^2} = t\;\;\left( {t \ge 0} \right).\) Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 5t - 4t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 4 = 0\\t + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - 5\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2.\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2;\;2} \right\}.\)                                         

\(b)\;\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 11\\2x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 20\\y = 9 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 9 - 2.4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {4;1} \right).\)  

3) Cho phương trình \({x^2} - 2x - 5 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}.\) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: \(B = x_1^2 + x_2^2,\;\;C = x_1^5 + x_2^5.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - 5\end{array} \right..\)

Khi đó: \(B = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {2^2} - 2.\left( { - 5} \right) = 14.\)

\(\begin{array}{l}C = x_1^5 + x_2^5 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^4 - x_1^3{x_2} + x_1^2x_2^2 - {x_1}x_2^3 + x_2^4} \right)\\\;\;\; = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {x_1^4 + x_2^4 - {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + x_1^2x_2^2} \right]\\\;\;\; = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2} - 2x_1^2x_2^2 - {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + x_1^2x_2^2} \right]\\\;\;\; = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2} - {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - x_1^2x_2^2} \right].\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét và kết quả của biểu thức B ta được:

\(C = 2\left[ {{{14}^2} - \left( { - 5} \right).14 - {{\left( { - 5} \right)}^2}} \right] = 2.\left( {196 + 70 - 25} \right) = 482.\)