a) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ thành phố A...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\;\left( {km/h} \right)\;\;\left( {x > 10} \right).\)

Từ đó ta biểu diễn được vận tốc của xe thứ hai và thời gian mỗi xe đi hết quãng đường từ thành phố A đến thành phố B.

Dựa vào dữ liệu bài toán ta lập được phương trình: Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường – Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường = 1,5 giờ.

Giải phương trình vừa lập tìm ẩn \(x\) và đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận yêu cầu bài toán.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta  > 0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

+) Bình phương hệ thức bài cho sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét để tìm \(m.\)  Đối chiếu với điều kiện của \(m\) và kết luận.

Giải chi tiết:

a) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 450 km với vận tốc không đổi. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai 10 km/h nên xe thứ nhất đến thành phố B trước xe thứ hai 1,5 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\;\left( {km/h} \right)\;\;\left( {x > 10} \right).\)

Khi đó vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 10\;\;\left( {km/h} \right).\)

Thời gian xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết quãng đường từ thành phố A đến thành phố B lần lượt là: \(\frac{{450}}{x}\;\left( h \right),\;\;\frac{{450}}{{x - 10}}\;\;\left( h \right).\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(\frac{{450}}{{x - 10}} - \frac{{450}}{x} = 1,5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 300x - 300\left( {x - 10} \right) = x\left( {x - 10} \right)\\ \Leftrightarrow 300x - 300x + 3000 = {x^2} - 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x - 3000 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 60} \right)\left( {x + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 60 = 0\\x + 50 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\;\;\left( {tm} \right)\\x =  - 50\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(60\;km/h,\) vận tốc của xe thứ hai là: \(60 - 10 = 50\;km/h.\)

b) Cho phương trình: \({x^2} - mx - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4 > 0\;\;\left( {tm} \right)\forall m \in R.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right..\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{x_1}.{x_2} =  - 1 < 0 \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\left( {Do\,\,{x_1} < {x_2}} \right)\\ \Rightarrow \left| {{x_1}} \right| =  - {x_1};\left| {{x_2}} \right| = {x_2}\end{array}\)

Theo hệ thức bài cho ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6\\ \Leftrightarrow  - {x_1} - {x_2} = 6\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} =  - 6\\ \Leftrightarrow m =  - 6\end{array}\)

Vậy \(m =  - 6\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.