1. Giải hệ phương trình \(\left\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.a) Thay \(m =  - 1\) và giải phương trình bậc hai.

b) Quy đồng, rút gọn biểu thức B.

Tính C và sử dụng BĐT Cauchy để so sánh C với 1.

Giải chi tiết:

 

1.    Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 8\\2x + 5y = 13\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 8\\2x + 5y = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 8y = 16\\2x + 5y = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 3\\x = 8 - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 4\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)\).

2.    Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{a\sqrt a  - a - \sqrt a  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\) (với \(a > 0,\,a \ne 1\))

a)   Rút gọn biểu thức B.

Với \(a > 0,\,a \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{a\sqrt a  - a - \sqrt a  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{a\left( {\sqrt a  - 1} \right) - \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{{6\left( {\sqrt a  - 1} \right) + 10 - 2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{{6\sqrt a  - 6 + 10 - 2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{{4\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{1}{{\sqrt a }}\end{array}\)

b)   Đặt \(C = B.\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)\). So sánh C và 1.

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{\sqrt a }} \Rightarrow C = B.\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)\\ \Rightarrow C = \frac{1}{{\sqrt a }}\left( {a - \sqrt a  + 1} \right) = \sqrt a  - 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\sqrt a  + \frac{1}{{\sqrt a }} \ge 2\sqrt {\sqrt a .\frac{1}{{\sqrt a }}}  = 2 \Rightarrow \sqrt a  - 1 + \frac{1}{{\sqrt a }} \ge 2 - 1 = 1\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt a  = \frac{1}{{\sqrt a }} \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy \(C \ge 1\) và \(C = 1 \Leftrightarrow a = 1\).

3.    Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 3m - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)\), với x là ẩn, m là tham số.

a)      Giải phương trình (1) khi \(m =  - 1.\)

Thay \(m =  - 1\) vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy khi \(m =  - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;3} \right\}\).

b)   Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) sao cho  \({x_1};\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) là hai cạnh của một tam giác vuông nên \({x_1};{x_2} > 0\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương \({x_1};\,\,{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.\left( * \right)\)

 

 Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = 3m - 3\end{array} \right.\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 3} \right) > 0\\m + 2 > 0\\3m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} > 0\\m + 2 > 0\\3m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\m >  - 2\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1;m \ne 4\)

Vì \({x_1};\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = {5^2} = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 2\left( {3m - 3} \right) = 25\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 6m + 6 = 25\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 3m - 15 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 5} \right) + 3\left( {m - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\left( {tm} \right)\\m =  - 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\,\,\end{array}\)

Vậy \(m = 5\) thỏa mãn điều kiện bài toán.