Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) So sánh \(d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right)\) và \(d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)\).

 +) Tính \(d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)\).

Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có \(GS \cap \left( {ABC} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{GM}}{{SM}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) suy ra \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Trong tam giác vuông \(SAH:\,\,SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {G;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{9}\).

Chọn C.