Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh đường thẳng MN song song với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD).

2) Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến (nếu có) song song với 2 đường thẳng đó.

3) Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAC: \(\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{PA}}{{PC}}.\frac{{GC}}{{GS}} = 1\).

Giải chi tiết:

1) Xét tam giác SAB có MN là đường trung bình \( \Rightarrow \) MN // AB (Tính chất đường trung bình).

Lại có AB // CD (ABCD là hình bình hành) nên MN // CD, \(CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow \) MN // (SCD).

2) Ta có (MNP) và (ABCD) có điểm P chung.

\(MN \subset \left( {MNP} \right);\,\,AB \subset \left( {ABCD} \right);\,\,MN//AB \Rightarrow \) Giao tuyến của 2 mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là đường thẳng qua P và song song với MN, AB.

Trong (ABCD) kẻ EF // AB \(\left( {E \in AD;\,\,F \in BC} \right)\), khi đó ta có \(\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF\).

3) Gọi \(O = AC \cap BD\). Do P là trọng tâm tam giác BCD

\( \Rightarrow \frac{{PC}}{{PO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PC}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{PC}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PC}}{{PA}} = \frac{1}{2}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAC: \(\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{PA}}{{PC}}.\frac{{GC}}{{GS}} = 1 \Rightarrow 1.2.\frac{{GC}}{{GS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{GC}}{{GS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{SC}}{{SG}} = \frac{1}{2}\).