Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(\left( x;y \rig...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số để biểu diễn mối liên hệ giữa hai biến x, y và sử dụng phương pháp thế đưa về khảo sát hàm số tìm max – min.

Giải chi tiết:

Ta có \(\ln {{\left( x-y \right)}^{x}}-2017x=\ln {{\left( x-y \right)}^{y}}-2017y+{{e}^{2018}}\)

    \(\begin{align}  & \Leftrightarrow \left( x-y \right)\ln \left( x-y \right)-2017\left( x-y \right)={{e}^{2018}} \\  & \Leftrightarrow \ln \left( x-y \right)-\frac{{{e}^{2018}}}{x-y}-2017=0. \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\ln t-\frac{{{e}^{2018}}}{t}-2017,\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{1}{t}+\frac{{{e}^{2018}}}{{{t}^{2}}}>0;\,\,\forall t>0.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\,\infty  \right)\) mà \(f\left( {{e}^{2018}} \right)=0\)\(\Rightarrow t=x-y={{e}^{2018}}.\)

Khi đó \(P={{e}^{2018x}}\left( 1+x-{{e}^{2018}} \right)-2018{{x}^{2}}\,\,\xrightarrow{{}}\,g\left( x \right).\)

Lại có \({g}'\left( x \right)={{e}^{2018}}x\left( 2019+2018x-2018{{e}^{2018}} \right)-4036x\Rightarrow {g}''<0;\,\,\forall x\in \left[ -\,1;1 \right].\)

Nên \({g}'\left( x \right)\) là hàm số nghịch biến trên \(\left[ -\,1;1 \right]\) mà \({g}'\left( -\,1 \right)={{e}^{-\,2018}}+2018>0\)

Và \({g}'\left( 0 \right)=2019-2018{{e}^{2018}}<0\) nên tồn tại \({{x}_{0}}\in \left( -\,1;0 \right)\) sao cho \({g}'\left( {{x}_{0}} \right)=0.\)

Vậy \(\underset{\left[ -\,1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( {{x}_{0}} \right)\) hay giá trị lớn nhất của \(P\) đạt được khi \({{x}_{0}}\in \left( -\,1;0 \right).\)

Chọn A