Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số th...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phác thảo đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m-3\)

+) Chia các trường hợp của m và tìm GTLN của hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x+m-3 \right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\)

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m-3\) có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=1\Rightarrow y=m-5 \\   x=-1\Rightarrow y=m-1 \\ \end{align} \right.\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có dạng như hình vẽ bên:

TH1: \(m-5\ge 0\Leftrightarrow m\ge 5\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=m-1=5\Leftrightarrow m=6\)

TH2: \(m-5<0\le m-3\Leftrightarrow 3\le m<5\( ta có:

\(y\left( 0 \right)=m-3;y\left( 1 \right)=-m+5;\,\,y\left( 2 \right)=m-1\Rightarrow y\left( 0 \right)<y\left( 1 \right)\)

\(\begin{align}   \left( m-1 \right)-\left( -m+5 \right)=2m-6\ge 0\,\,\forall m\in \left[ 3;5 \right)\Rightarrow y\left( 2 \right)\ge y\left( 1 \right) \\   \Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 2 \right)=m-1=5\Leftrightarrow m=6 \\ \end{align}\)

TH3: \(m-3<0\le m-1\Leftrightarrow 1\le m<3\) ta có: \(y\left( 0 \right)=-m+3;y\left( 1 \right)=-m+5;\,\,y\left( 2 \right)=m-1\Rightarrow y\left( 1 \right)>y\left( 0 \right)\)

\(\begin{align}   \left( m-1 \right)-\left( -m+5 \right)=2m-6<0\,\,\forall m\in \left( 1;3 \right]\Rightarrow y\left( 2 \right)<y\left( 1 \right) \\   \Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 1 \right)=-m+5=5\Leftrightarrow m=0 \\ \end{align}\)

TH4: \(m-1<0\Rightarrow m<1\) ta có: \(y\left( 0 \right)=-m+3;\,\,y\left( 1 \right)=-m+5;\,\,y\left( 2 \right)=-m+1\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=-m+5=5\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(S=\left\{ 0;6 \right\}\Rightarrow \) có 2 phần tử.

Chọn C.